উত্তর: (গ) 29.099 [বহুপরমাণুক রৈখিক গ্যাস হিসেবে $C_p \approx \frac{7}{2}R$]

উত্তর: (গ) 0.28J [W = $P_1V_1 \ln(V_2/V_1) = 2 \times 101325 \times 10^{-6} \times \ln(4) \approx 0.28$ J]

উত্তর: (খ) [অসীম সমতল পাতের ক্ষেত্রে তড়িৎ প্রাবল্য $E = \sigma/\epsilon_0$, যা দূরত্বের (r) উপর নির্ভর করে না। তাই এটি X-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা।]

উত্তর: (খ) $\frac{q}{\epsilon_0}$ [গাউসের সূত্রানুসারে]

উত্তর: (গ) 0

উত্তর: (খ) গ্যালভানোমিটারের বিদ্যুৎ প্রবাহ কমানোর জন্য

উত্তর: (ঘ) 25.45 Ω [$10 + (12 \parallel 10) + 10 = 10 + 5.45 + 10 = 25.45\Omega$]

উত্তর: (ক) 0.16 A [মূল প্রবাহ I = 9/25.45 = 0.353A. $I_1 = I \times \frac{10}{10+12} = 0.16$ A]

উত্তর: (ক) i ও ii [সমসত্ত্ব চৌম্বকক্ষেত্রে লব্ধি বল সবসময় শূন্য থাকে এবং উত্তর-দক্ষিণ মুখী হলে $\theta=0^\circ$ হওয়ায় টর্কও শূন্য হয়।]

উত্তর: (গ) $5 \times 10^{-3}$ N

উত্তর: (ক) 0.5 Henry [$L = \frac{N\Phi}{I} = \frac{100 \times 0.02}{4} = 0.5$ H]

উত্তর: (খ) দুইটিতেই anticlockwise [লেঞ্জের সূত্রানুযায়ী উভয়েই গতিরোধ করতে চাইবে, তাই বামে N মেরু ও ডানে N মেরু সৃষ্টি হবে।]

উত্তর: (ঘ) $f < V < 2f$

উত্তর: (ক) 0.08 m [$M = f_o/f_e \Rightarrow 50 = 4/f_e \Rightarrow f_e = 0.08$ m]

উত্তর: (গ) অভিনেত্রের ক্ষমতা বৃদ্ধি করে [বিবর্ধন $M = P_e / P_o$, তাই অভিনেত্রের ক্ষমতা $P_e$ বাড়ালে বিবর্ধন বাড়বে]

উত্তর: (গ) $1.45 \times 10^{-4}$ m [$\Delta x = \frac{\lambda D}{2a}$]

উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii

উত্তর: (খ) i ও iii

উত্তর: (খ) $\frac{E}{c}$ [$E = pc$ সূত্রানুযায়ী]

উত্তর: (গ) 20 d [75% ক্ষয় অর্থাৎ 25% বা 1/4 অংশ অবশিষ্ট। 1/4 মানে ২টি অর্ধায়ু = 20 দিন]

উত্তর: (গ) প্রোটন [ভরসংখ্যা $31-30=1$, পারমাণবিক সংখ্যা $15-14=1$, যা একটি প্রোটন ${}_{1}^{1}\text{p}$]

উত্তর: (গ) 4.71939 Km [সোয়ার্জশিল্ড ব্যাসার্ধ $R = \frac{2GM}{c^2}$]

উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii

উত্তর: (ক) $n_p = n_e$

উত্তর: (খ) $\alpha = \frac{\beta}{1+\beta}$

A B C D $(V_1 = 3 \times 10^{-3} m^3)$ $T_1 = 550$ K $T_2 = 330$ K

$R = 8.31 \text{ Jk}^{-1}\text{mole}^{-1}$ $V_2 / V_1 = 2 / 1$ $\gamma = 1.4$ $n = 1$ mole

উত্তর:
(ক) রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় বস্তুর যে তাপীয় ধর্ম স্থির থাকে, তাকে এনট্রপি (Entropy) বলে। এটি মূলত সিস্টেমের বিশৃঙ্খলার পরিমাপ।

(খ) স্থির আয়তনে কোনো গ্যাসের তাপমাত্রা বাড়াতে প্রদত্ত তাপ কেবল অভ্যন্তরীণ শক্তি বৃদ্ধিতে ব্যবহৃত হয় ($dQ = dU$)। কিন্তু স্থির চাপে তাপমাত্রা বাড়াতে গেলে গ্যাস প্রসারিত হয় এবং বাহ্যিক কাজ সম্পাদন করে, ফলে অভ্যন্তরীণ শক্তি বৃদ্ধির পাশাপাশি কাজের জন্যও অতিরিক্ত তাপের প্রয়োজন হয় ($dQ = dU + dW$)। তাই সমপরিমাণ তাপমাত্রা বাড়াতে স্থির আয়তনের চেয়ে স্থির চাপে বেশি তাপ লাগে। এ কারণেই $C_P > C_V$ হয় বা $C_V$, $C_P$ অপেক্ষা ছোট।

(গ) কার্নো চক্রে AB হলো সমোষ্ণ প্রসারণ এবং BC হলো রুদ্ধতাপীয় প্রসারণ।
A বিন্দুতে আয়তন, $V_A = 3 \times 10^{-3} m^3$
উদ্দীপকে দেওয়া আছে সমোষ্ণ প্রসারণের অনুপাত $V_B/V_A = 2/1 = 2$
অতএব, B বিন্দুতে আয়তন, $V_B = 2 \times 3 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-3} m^3$
B বিন্দুতে তাপমাত্রা, $T_1 = 550$ K এবং C বিন্দুতে তাপমাত্রা, $T_2 = 330$ K
BC রুদ্ধতাপীয় রেখার ক্ষেত্রে: $T_1 V_B^{\gamma-1} = T_2 V_C^{\gamma-1}$
$550 \times (6 \times 10^{-3})^{1.4-1} = 330 \times (V_C)^{0.4}$
$(V_C)^{0.4} = \frac{550}{330} \times (6 \times 10^{-3})^{0.4} = \frac{5}{3} \times 0.1293 = 0.2155$
$V_C = (0.2155)^{1/0.4} = (0.2155)^{2.5} \approx 0.0215 m^3$ (বা $2.15 \times 10^{-2} m^3$)
‘C’ বিন্দুতে আয়তন $0.0215 m^3$।

(ঘ) AB (সমোষ্ণ) পর্যায়ে কৃতকাজ, $W_{AB} = nRT_1 \ln(V_B/V_A)$
$W_{AB} = 1 \times 8.31 \times 550 \times \ln(2) \approx 4570.5 \times 0.693 \approx 3167$ J
BC (রুদ্ধতাপীয়) পর্যায়ে কৃতকাজ, $W_{BC} = \frac{nR(T_1 – T_2)}{\gamma – 1}$
$W_{BC} = \frac{1 \times 8.31 \times (550 – 330)}{1.4 – 1} = \frac{8.31 \times 220}{0.4} = 4570.5$ J
যাচাই: যেহেতু $W_{AB} \neq W_{BC}$ ($3167 \text{ J} \neq 4570.5 \text{ J}$), তাই AB এবং BC পর্যায়ে কৃতকাজ সমান হবে না।

$C_2 = 2\mu F$

$C_3 = 3\mu F$

12V

উত্তর:
(ক) সমপরিমাণ ও বিপরীতধর্মী দুটি বিন্দু চার্জ পরস্পর থেকে অল্প দূরত্বে অবস্থান করলে যে ব্যবস্থা গঠন করে, তাকে তড়িৎ দ্বিমেরু (Electric Dipole) বলে।

(খ) কোনো পরিবাহী গোলককে চার্জিত করা হলে, চার্জগুলোর পারস্পরিক বিকর্ষণের কারণে সমস্ত চার্জ গোলকের বাইরের পৃষ্ঠে সুষমভাবে ছড়িয়ে পড়ে। গোলকের অভ্যন্তরে কোনো চার্জ থাকে না। গাউসের সূত্রানুযায়ী, যেহেতু ভেতরের আবদ্ধ চার্জ $q=0$, তাই গোলকের অভ্যন্তরের যেকোনো বিন্দুতে এবং কেন্দ্রে তড়িৎ প্রাবল্য ($E$) শূন্য হয়।

(গ) চিত্রে $C_2$ এবং $C_3$ সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত।
এদের তুল্য ধারকত্ব, $C_p = C_2 + C_3 = 2\mu F + 3\mu F = 5\mu F$
এখন $C_1$ এবং $C_p$ সমবায়ে সিরিজে (শ্রেণিতে) যুক্ত।
বর্তনীটির মোট তুল্য ধারকত্ব, $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_p} = \frac{1}{1} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$
অতএব, $C_s = \frac{5}{6} \mu F \approx 0.833 \mu F$।

(ঘ) বর্তনীর মোট চার্জ, $Q = C_s \times V = \frac{5}{6}\mu F \times 12 V = 10 \mu C$
যেহেতু $C_1$ সিরিজে যুক্ত, এর মধ্য দিয়ে সম্পূর্ণ $Q$ চার্জ প্রবাহিত হবে।
$C_1$ এ সঞ্চিত শক্তি, $U_1 = \frac{Q^2}{2C_1} = \frac{(10\mu C)^2}{2 \times 1\mu F} = \frac{100}{2} = 50 \mu J$
সমান্তরাল সমবায়ের ($C_p$) দুই প্রান্তের বিভব পার্থক্য, $V_p = \frac{Q}{C_p} = \frac{10\mu C}{5\mu F} = 2 V$
$C_3$ ধারকের সঞ্চিত শক্তি, $U_3 = \frac{1}{2} C_3 V_p^2 = \frac{1}{2} \times 3\mu F \times (2 V)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \mu J$
ব্যাখ্যা: যেহেতু $U_1 (50 \mu J) > U_3 (6 \mu J)$, তাই গাণিতিকভাবে প্রমাণিত হলো যে $C_1$ ধারকটিতে সঞ্চিত শক্তির পরিমাণ অধিক।

উত্তর:
(ক) যে নির্দিষ্ট সময়ে কোনো তেজস্ক্রিয় পদার্থের মোট পরমাণুর ঠিক অর্ধেক পরিমাণ ভেঙে বা ক্ষয়প্রাপ্ত হয়ে নতুন মৌলে পরিণত হয়, সেই সময়কে ওই পদার্থের অর্ধায়ু (Half-life) বলে।

(খ) কোনো ধাতব পৃষ্ঠ থেকে ইলেকট্রন নির্গত করার জন্য আপতিত আলোর একটি ন্যূনতম কম্পাঙ্ক থাকা আবশ্যক, যাকে সূচন কম্পাঙ্ক ($f_0$) বলে। আপতিত আলোর কম্পাঙ্ক সূচন কম্পাঙ্কের চেয়ে কম হলে আলোর তীব্রতা যতই হোক না কেন, কোনো ইলেকট্রন নির্গত হবে না। তাই আলোক তড়িৎ ক্রিয়া ঘটার জন্য সূচন কম্পাঙ্ক একটি আবশ্যিক শর্ত।

(গ) দেওয়া আছে, অর্ধায়ু $T_{1/2} = 3.8$ দিন।
ক্ষয় ধ্রুবক $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{3.8} = 0.1824 \text{ day}^{-1}$
‘ক’ শিক্ষার্থীর পর্যবেক্ষণে 82% ক্ষয় হয়েছে। তাহলে অবশিষ্ট পরমাণুর সংখ্যা, $N = N_0 – 0.82 N_0 = 0.18 N_0$
তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের সূত্রানুযায়ী, $N = N_0 e^{-\lambda t}$
$0.18 N_0 = N_0 e^{-0.1824 t} \Rightarrow 0.18 = e^{-0.1824 t}$
উভয় পক্ষে $\ln$ নিয়ে, $\ln(0.18) = -0.1824 t \Rightarrow -1.7148 = -0.1824 t \Rightarrow t \approx 9.4$ দিন।
‘ক’ শিক্ষার্থীর পর্যবেক্ষণকাল প্রায় 9.4 দিন।

(ঘ) ‘খ’ শিক্ষার্থীর বক্তব্য অনুযায়ী $t = 18$ দিন পর অবশিষ্ট ভগ্নাংশ বের করি:
আমরা জানি, $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{18 / 3.8} = \left(0.5\right)^{4.737} \approx 0.0375$
কিন্তু ‘খ’ শিক্ষার্থীর মতে অবশিষ্টাংশ হলো $\frac{1}{25}$ অংশ, যা দশমিকে $\frac{1}{25} = 0.04$
যেহেতু $0.0375 \neq 0.04$, তাই ‘খ’ শিক্ষার্থীর বক্তব্যটি গাণিতিকভাবে সম্পূর্ণ সঠিক নয় (তবে কাছাকাছি)।

A B C D

$6\Omega$ $12\Omega$ $18\Omega$ $24\Omega$

12.5V K

উত্তর:
(ক) গ্যালভানোমিটার বা কোনো সুবেদী যন্ত্রকে অতিরিক্ত তড়িৎ প্রবাহের হাত থেকে রক্ষা করার জন্য এর সাথে সমান্তরাল সমবায়ে যে অল্প মানের রোধ যুক্ত করা হয়, তাকে শান্ট (Shunt) বলে।

(খ) কোনো নক্ষত্র কৃষ্ণগহ্বরে (Black hole) পরিণত হবে কি না তা চন্দ্রশেখর সীমার (1.4 $M_{\odot}$) ওপর নির্ভর করে। নক্ষত্রের ভর যদি সূর্যের ভরের ৩ গুণের বেশি হয়, তবেই সুপারনোভা বিস্ফোরণের পর তার অবশিষ্টাংশ ব্ল্যাকহোলে পরিণত হতে পারে। যেহেতু সূর্যের ভর ওই ভরের চেয়ে অনেক কম, তাই সূর্য কখনো কৃষ্ণগহ্বরে পরিণত হবে না, বরং এটি একটি শ্বেত বামনে (White dwarf) পরিণত হবে।

(গ) হুইটস্টোন ব্রিজের সাম্যাবস্থার শর্তানুযায়ী, $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S’}$
এখানে $P = 6\Omega$, $Q = 12\Omega$, $R = 18\Omega$
$\frac{6}{12} = \frac{18}{S’} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{18}{S’} \Rightarrow S’ = 36\Omega$
কিন্তু চতুর্থ বাহুতে রোধ আছে $S = 24\Omega$। যেহেতু প্রয়োজনীয় রোধ ($36\Omega$) বর্তমান রোধের চেয়ে বড়, তাই এর সাথে শ্রেণিতে একটি রোধ ($x$) যুক্ত করতে হবে।
$S + x = S’ \Rightarrow 24 + x = 36 \Rightarrow x = 12\Omega$
চতুর্থ বাহুতে $12\Omega$ মানের একটি রোধ শ্রেণিসমবায়ে যুক্ত করলে ব্রীজটি সাম্যাবস্থায় আসবে।

(ঘ) ব্রীজটি সাম্যাবস্থায় এলে চতুর্থ বাহুর রোধ $S’ = 36\Omega$ হবে এবং গ্যালভানোমিটারের মধ্য দিয়ে কোনো তড়িৎ প্রবাহিত হবে না।
তখন উপরের বাহুর মোট রোধ, $R_1 = P + Q = 6 + 12 = 18\Omega$
নিচের বাহুর মোট রোধ, $R_2 = R + S’ = 18 + 36 = 54\Omega$
বর্তনীটির তুল্য রোধ, $R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{18 \times 54}{18 + 54} = \frac{972}{72} = 13.5\Omega$
মূল তড়িৎ প্রবাহ, $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12.5}{13.5} \approx 0.926$ A
উপরের বাহু অর্থাৎ $6\Omega$ রোধের মধ্য দিয়ে প্রবাহ, $I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 0.926 \times \frac{54}{72} = 0.926 \times 0.75 \approx 0.694$ A
এখানে দেখা যাচ্ছে, মূল প্রবাহ ($I = 0.926$ A) এবং $6\Omega$ রোধের মধ্য দিয়ে প্রবাহ ($I_1 = 0.694$ A) সমান নয়। এদের অনুপাত $I : I_1 = 0.926 : 0.694 \approx 1.33 : 1$, যা সমান অনুপাত (1:1) নয়।
তাই শিক্ষার্থীর পর্যবেক্ষণটি গাণিতিকভাবে যথার্থ।

উত্তর:
(ক) কোনো লক্ষ্যবস্তুর ওপর উচ্চ শক্তির ফোটন (যেমন এক্স-রে বা গামা রশ্মি) আপতিত হয়ে বিক্ষিপ্ত হওয়ার পর বিক্ষিপ্ত ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাওয়ার ঘটনাকে কম্পটন ক্রিয়া (Compton Effect) বলে।

(খ) কোনো ধাতব পৃষ্ঠ থেকে ইলেকট্রন মুক্ত করতে যে ন্যূনতম শক্তির প্রয়োজন হয়, তাকে ওই ধাতুর কার্য অপেক্ষক ($\Phi$) বলে। আর যে ন্যূনতম কম্পাঙ্কের আলো পড়লে ইলেকট্রন নির্গত হয়, তাকে সূচন কম্পাঙ্ক ($f_0$) বলে। এদের মধ্যে সম্পর্কটি হলো $\Phi = h f_0$ (যেখানে $h$ হলো প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক)। অর্থাৎ কার্য অপেক্ষক সরাসরি সূচন কম্পাঙ্কের সমানুপাতিক।

(গ) মহাকাশযানের নিশ্চল দৈর্ঘ্য, $L_0 = 100$ m
যানের বেগ, $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$
পৃথিবীতে অবস্থানরত মিতার কাছে গতিশীল যানের দৈর্ঘ্য হবে (দৈর্ঘ্য সঙ্কোচন সূত্রানুসারে):
$L = L_0 \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} = 100 \sqrt{1 – \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 100 \sqrt{1 – \frac{3}{4}} = 100 \sqrt{\frac{1}{4}} = 100 \times 0.5 = 50$ m।
মিতা মহাকাশযানের দৈর্ঘ্য 50 m নির্ণয় করবে।

(ঘ) রিতা যখন মহাকাশ ভ্রমণে যায় তখন তার বয়স = 22 বছর।
যেহেতু রিতা অপেক্ষা মিতা 7 বছরের ছোট, তাই তখন মিতার বয়স ছিল = 22 – 7 = 15 বছর।
রিতা পৃথিবীতে ফিরে এলে মিতার বয়স হয় 37 বছর।
অতএব, পৃথিবীতে অতিবাহিত সময় (মিতার হিসেবে), $\Delta t = 37 – 15 = 22$ বছর।
রিতা মহাকাশযানে থাকায় কাল দীর্ঘায়ন সূত্রানুযায়ী তার কাছে অতিবাহিত সময় (প্রকৃত সময়) হবে:
$\Delta t_0 = \Delta t \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} = 22 \times \sqrt{1 – \frac{3}{4}} = 22 \times 0.5 = 11$ বছর।
ভ্রমণ শেষে রিতার বয়স হবে = $22 + 11 = 33$ বছর।
ভ্রমণ শেষে মিতার বয়স = 37 বছর (উদ্দীপকে দেওয়া আছে)।
যেহেতু $33 \neq 37$, তাই ভ্রমণ শেষে তাদের বয়স একই হবে না।

উত্তর:
(ক) কোনো প্রতিবন্ধকের ধার বা তীক্ষ্ণ ধার ঘেঁষে আলো যখন বেঁকে যায় বা জ্যামিতিক ছায়া অঞ্চলে প্রবেশ করে, আলোর সেই বেঁকে যাওয়ার ঘটনাকে আলোর অপবর্তন (Diffraction) বলে।

(খ) ব্যতিচার সৃষ্টির জন্য দুটি আলোক তরঙ্গের মধ্যে একটি ধ্রুব বা অপরিবর্তিত দশা পার্থক্য বজায় থাকা আবশ্যক। সাধারণ দুটি ভিন্ন আলোক উৎস থেকে নির্গত তরঙ্গের দশা প্রতিনিয়ত পরিবর্তনশীল হয়, ফলে স্থায়ী ব্যতিচার প্যাটার্ন তৈরি হয় না। কিন্তু সুসংগত উৎস (Coherent sources) থেকে নির্গত তরঙ্গের দশা পার্থক্য সময়ের সাথে সাথে স্থির থাকে, যার কারণে পর্দায় স্থায়ী ও সুস্পষ্ট গঠনমূলক এবং ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার পাওয়া যায়। তাই সুসংগত উৎস অপরিহার্য।

(গ) দেওয়া আছে,
চিড়দ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $a = 2.75$ mm = $2.75 \times 10^{-3}$ m
পর্দার দূরত্ব, $D = 1$ m
আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda = 5800\mathring{A} = 5800 \times 10^{-10}$ m = $5.8 \times 10^{-7}$ m
ডোরা প্রস্থ, $\Delta x = \frac{\lambda D}{2a}$
$\Delta x = \frac{5.8 \times 10^{-7} \times 1}{2 \times 2.75 \times 10^{-3}} = \frac{5.8 \times 10^{-7}}{5.5 \times 10^{-3}} \approx 1.054 \times 10^{-4}$ m।

(ঘ) দেওয়া আছে, ‘P’ বিন্দুতে পথ পার্থক্য $x = 2.1 \times 10^{-6}$ m
আমরা জানি, গঠনমূলক ব্যতিচারের শর্ত: পথ পার্থক্য $x = n\lambda$ (যেখানে n পূর্ণসংখ্যা)
এবং ধ্বংসাত্মক ব্যতিচারের শর্ত: পথ পার্থক্য $x = (2n+1)\frac{\lambda}{2}$
প্রথমে চেক করি, $n = \frac{x}{\lambda} = \frac{2.1 \times 10^{-6}}{5.8 \times 10^{-7}} = 3.62$
যেহেতু $n$-এর মান একটি ভগ্নাংশ (3.62), এটি কোনো পূর্ণসংখ্যা নয়, আবার এটি $(2n+1)/2$ (যেমন: 3.5, 4.5) এর সাথেও পুরোপুরি মিলে যায় না।
তবে, 3.62 সংখ্যাটি 3.5 (ধ্বংসাত্মক ব্যতিচারের শর্ত) এর খুব কাছাকাছি। তাই P বিন্দুতে একটি আংশিক অন্ধকার (Partially destructive) ডোরা সৃষ্টি হবে, যা সম্পূর্ণ উজ্জ্বল বা সম্পূর্ণ অন্ধকার কোনোটাই নয়।

উত্তর:
(ক) কোনো চৌম্বকক্ষেত্রে 1 কুলম্ব চার্জ ক্ষেত্রটির সাথে লম্বভাবে 1 m/s বেগে গতিশীল হলে যদি এটি 1 নিউটন চৌম্বক বল অনুভব করে, তবে ওই চৌম্বকক্ষেত্রের মানকে 1 টেসলা (Tesla) বলে।

(খ) ধারকের বাধার মান বা ক্যাপাসিটিভ রিয়্যাক্ট্যান্স হলো $X_c = \frac{1}{2\pi f C}$। ডিসি (DC) প্রবাহের ক্ষেত্রে কম্পাঙ্ক $f = 0$ হয়। ফলে $X_c = \frac{1}{0} = \infty$ (অসীম) হয়ে যায়। অর্থাৎ ধারক ডিসি প্রবাহকে সম্পূর্ণ ব্লক করে দেয় এবং বর্তনী দিয়ে কোনো কারেন্ট প্রবাহিত হতে পারে না। কিন্তু এসি (AC) প্রবাহের একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্ক থাকায় $X_c$-এর একটি সসীম মান থাকে, যার মধ্য দিয়ে তড়িৎ প্রবাহিত হতে পারে। তাই ডিসি প্রবাহে ধারক ব্যবহার করা হয় না।

(গ) দেওয়া আছে, এসি প্রবাহের কম্পাঙ্ক, $f = 50$ Hz
পর্যায়কাল, $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 0.02$ s
একটি এসি প্রবাহ শূন্য থেকে শুরু হয়ে তার শীর্ষ বা সর্বোচ্চ মানে পৌঁছাতে পর্যায়কালের এক-চতুর্থাংশ ($T/4$) সময় নেয়।
নির্ণেয় সময়, $t = \frac{T}{4} = \frac{0.02}{4} = 0.005$ s।

(ঘ) রুম হিটারের রোধ, $R = 1000\Omega$
ডিসি (DC) সংযোগের ক্ষেত্রে:
ভোল্টেজ, $V = 220$ V
উৎপন্ন তাপের হার বা ক্ষমতা, $P_{DC} = \frac{V^2}{R} = \frac{220^2}{1000} = \frac{48400}{1000} = 48.4$ W
এসি (AC) সংযোগের ক্ষেত্রে:
এসি-তে প্রদত্ত ভোল্টেজ $220$ V হলো রুট মিন স্কয়ার বা কার্যকর ভোল্টেজ ($V_{rms}$)।
উৎপন্ন তাপের হার বা ক্ষমতা, $P_{AC} = \frac{V_{rms}^2}{R} = \frac{220^2}{1000} = 48.4$ W
ব্যাখ্যা: গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা যাচ্ছে যে, এসি এবং ডিসি উভয় সংযোগেই প্রতি সেকেন্ডে উৎপন্ন তাপের পরিমাণ (48.4 J/s) একেবারে সমান। অর্থাৎ, উভয় সংযোগই সমান কার্যকর হবে; কোনটিই অধিক বা কম তাপ উৎপাদন করবে না।

R সুইচ

Y বাল্ব

উত্তর:
(ক) পরমাণুতে যোজন ব্যান্ড (Valence band) এবং পরিবহন ব্যান্ডের (Conduction band) মধ্যবর্তী যে শক্তি স্তরে কোনো ইলেকট্রন থাকতে পারে না, সেই ফাঁকা স্তরটিকে নিষিদ্ধ শক্তি ব্যান্ড (Forbidden energy band) বলে।

(খ) চার্জের কোয়ান্টায়ন নীতি অনুযায়ী, যেকোনো বস্তুর চার্জ সর্বদা একটি ইলেকট্রনের চার্জের ($e = 1.6 \times 10^{-19}$ C) পূর্ণসংখ্যার গুণিতক হতে হবে ($Q = ne$)।
দেওয়া আছে, $Q = 0.8$ C
তাহলে ইলেকট্রন সংখ্যা, $n = \frac{Q}{e} = \frac{0.8}{1.6 \times 10^{-19}} = 5 \times 10^{18}$
যেহেতু $n$-এর মান একটি বিশাল পূর্ণসংখ্যা, তাই কোনো বস্তুর চার্জ 0.8 কুলম্ব হওয়া গাণিতিক ও বাস্তবিকভাবে অবশ্যই সম্ভব।

(গ) উদ্দীপকের বর্তনীতে সুইচ P এবং Q সমান্তরালে যুক্ত (যা OR গেটের কাজ করে)। এদের সাথে সুইচ R শ্রেণিতে (Series) যুক্ত (যা AND গেটের কাজ করে)। বাল্বটি জ্বলবে (Y=1) যদি (P অথবা Q) বন্ধ থাকে এবং সেই সাথে R-ও বন্ধ থাকে।
লজিক সমীকরণ: $Y = (P + Q) \cdot R$
সত্যক সারণি:

P	Q	R	P+Q	Y = (P+Q)·R
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	0	1	1	1
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

(ঘ) যদি বাল্ব (Y) টিকে সুইচ R এর সমান্তরালে যুক্ত করা হয়, তবে বর্তনীটির আচরণ বদলে যাবে। কারেন্ট ব্যাটারি থেকে (P অথবা Q) হয়ে আসবে। যখন সুইচ R বন্ধ (ON=1) করা হবে, তখন কারেন্ট বাল্বের দিকে না গিয়ে শর্ট-সার্কিট হয়ে সহজ পথে (সুইচ R দিয়ে) চলে যাবে, ফলে বাল্বটি নিভে (0) যাবে। আর যখন R খোলা (OFF=0) থাকবে, তখন কারেন্ট বাধ্য হয়ে বাল্ব দিয়ে যাবে এবং বাল্বটি জ্বলবে (1)। অর্থাৎ, R এর অবস্থা উল্টে যাচ্ছে (NOT)।
লজিক সমীকরণটি হবে: $Y = (P + Q) \cdot \overline{R}$
সমতুল্য লজিক গেট: এটি একটি OR গেট এবং একটি NOT গেটের আউটপুটকে একটি AND গেটে যুক্ত করার সমতুল্য।
সত্যক সারণি:

P	Q	R	P+Q	$\overline{R}$	Y = (P+Q)·$\overline{R}$
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0