দাখিল পরীক্ষা, ২০২৬ – গণিত প্রশ্ন ও সমাধান

বহুনির্বাচনি অভীক্ষা

বিষয় কোড: ১ ০ ৮ | সেট: ক
সময়— ৩০ মিনিট | পূর্ণমান— ৩০

[দ্রষ্টব্য: সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসম্বলিত বৃত্তসমূহ হতে সঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়েন্ট কলম দ্বারা সম্পূর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মান ১। সকল প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে।]

১। A = {0, 1} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
(ক) 1    (খ) 2    (গ) 3    (ঘ) 4
উত্তর: (গ) 3

২। A = {(1, 0), (2, 3), (3, 4)} অন্বয়ের ডোমেন নিচের কোনটি?
(ক) {1, 2, 3}    (খ) {1, 2, 4}    (গ) {0, 3, 4}    (ঘ) {0, 2, 3}
উত্তর: (ক) {1, 2, 3}

৩। f(x) = x³ – 2x + 3 হলে, f(-2) এর মান নিচের কোনটি?
(ক) -7    (খ) -1    (গ) 1    (ঘ) 7
উত্তর: (খ) -1

৪। p³ + 1/p³ রাশিটি সমান—
i. (p + 1/p)³ – 3(p + 1/p)
ii. (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)
iii. (p + 1/p)(p² + 1/p² – 1)
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii    (খ) i ও iii    (গ) ii ও iii    (ঘ) i, ii ও iii
উত্তর: (খ) i ও iii

৫। tanθ = 1/√3 হলে, θ এর মান কোনটি?
(ক) 30°    (খ) 45°    (গ) 60°    (ঘ) 75°
উত্তর: (ক) 30°

৬। p² + 9q² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
(ক) 4 pq    (খ) 6 pq    (গ) 12 pq    (ঘ) 18 pq
উত্তর: (খ) 6 pq

উদ্দীপক: p² – √5p + 1 = 0. উপরের তথ্যের আলোকে ৭ ও ৮নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

৭। p + 1/p এর মান কত?
(ক) -5    (খ) -√5    (গ) √5    (ঘ) 5
উত্তর: (গ) √5

৮। (p – 1/p)² এর মান কত?
(ক) 1    (খ) 3    (গ) 7    (ঘ) 9
উত্তর: (ক) 1

৯। 2 : 3 = p : 6 হলে, 2p এর মান কোনটি?
(ক) 2    (খ) 4    (গ) 8    (ঘ) 12
উত্তর: (গ) 8

১০। চিত্রে, PQ ব্যাস হলে, ∠PRQ = কত? (চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PRQ একটি ত্রিভুজ)
(ক) 30°    (খ) 45°    (গ) 60°    (ঘ) 90°
উত্তর: (ঘ) 90°

১১। A = {2, 4, 6} এবং B = {2, 3, 4, 5} হলে, A ∩ B নিচের কোনটি?
(ক) {2, 4}    (খ) {2, 4, 5}    (গ) {2, 3, 4, 5}    (ঘ) {2, 3, 4, 5, 6}
উত্তর: (ক) {2, 4}

১২। x + y = 3 এবং xy = 2 হলে, x² + y² এর মান নিচের কোনটি?
(ক) 1    (খ) 5    (গ) 29    (ঘ) 33
উত্তর: (খ) 5

উপরের চিত্রের আলোকে ১৩ ও ১৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও: (চিত্রে বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ PQRS, বহিঃস্থ কোণ ∠SRE = 85°)

১৩। উপরের চিত্রের আলোকে ∠QPS এর মান কত ডিগ্রী?
(ক) 65°    (খ) 75°    (গ) 85°    (ঘ) 95°
উত্তর: (গ) 85°

১৪। চিত্রে ∠PQR + ∠PSR = কত ডিগ্রী?
(ক) 85°    (খ) 160°    (গ) 170°    (ঘ) 180°
উত্তর: (ঘ) 180°

১৫। দুইটি সংখ্যার অনুপাত 2:3 এবং এদের গ. সা. গু. 5 হলে, সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু. কত?
(ক) 10    (খ) 15    (গ) 25    (ঘ) 30
উত্তর: (ঘ) 30

১৬। x, y ও z ক্রমিক সমানুপাতী হলে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) y² = zx    (খ) x = y = z    (গ) x² = yz    (ঘ) xy = yz
উত্তর: (ক) y² = zx

১৭। একটি নির্দিষ্ট বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?
(ক) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ    (খ) বিষমবাহু ত্রিভুজ    (গ) রম্বস    (ঘ) বর্গ
উত্তর: (ঘ) বর্গ

১৮। একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব যদি দেওয়া থাকে—
i. দুইটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ
ii. তিনটি বাহু
iii. দুইটি কোণ ও একটির বিপরীত বাহু
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii    (খ) i ও iii    (গ) ii ও iii    (ঘ) i, ii ও iii
উত্তর: (ক) i ও ii

১৯। বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?
(ক) 1টি    (খ) 2টি    (গ) 3টি    (ঘ) 4টি
উত্তর: (খ) 2টি

২০। cosecθ + cotθ = 5/2 হলে, cosecθ – cotθ = কত?
(ক) -3/2    (খ) -5/2    (গ) 2/5    (ঘ) 3/2
উত্তর: (গ) 2/5

২১। কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ কোন ধরনের?
(ক) স্থূলকোণ    (খ) সূক্ষ্মকোণ    (গ) সমকোণ    (ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ
উত্তর: (খ) সূক্ষ্মকোণ

২২। ঘনকের একটি ধার 3 সে.মি. হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(ক) 9    (খ) 18    (গ) 27    (ঘ) 54
উত্তর: (ঘ) 54

২৩। নিচের কোনটি অবিচ্ছিন্ন চলক?
(ক) উচ্চতা    (খ) পাখির সংখ্যা    (গ) জনসংখ্যা    (ঘ) প্রাপ্ত নম্বর
উত্তর: (ক) উচ্চতা

২৪। ত্রিকোণমিতিক অভেদের ক্ষেত্রে—
i. sec²θ – tan²θ = 1
ii. sin²θ – cos²θ = 1
iii. cosec²θ – cot²θ = 1
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii    (খ) i ও iii    (গ) ii ও iii    (ঘ) i, ii ও iii
উত্তর: (খ) i ও iii

২৫। sin(θ + 30°) = 1 হলে, θ এর মান কোনটি?
(ক) 30°    (খ) 45°    (গ) 60°    (ঘ) 90°
উত্তর: (গ) 60°

২৬। একটি রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 সে.মি. ও 8 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
(ক) 4 বর্গ সে.মি.    (খ) 12 বর্গ সে.মি.    (গ) 16 বর্গ সে.মি.    (ঘ) 32 বর্গ সে.মি.
উত্তর: (গ) 16 বর্গ সে.মি.

নিচের সারণি থেকে ২৭ ও ২৮নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	30-39	40-49	50-59	60-69	70-79
গণসংখ্যা	4	6	10	8	7

২৭। মধ্যক শ্রেণির ঊর্ধ্বসীমা কোনটি?
(ক) 59    (খ) 60    (গ) 69    (ঘ) 70
উত্তর: (ক) 59

২৮। প্রচুরক শ্রেণির শ্রেণিব্যাপ্তি কোনটি?
(ক) 5    (খ) 6    (গ) 9    (ঘ) 10
উত্তর: (ঘ) 10

২৯। কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ কয়টি?
(ক) 1টি    (খ) 2টি    (গ) 3টি    (ঘ) 4টি
উত্তর: (গ) 3টি

৩০। একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. হলে পরিধি কত?
(ক) 16π    (খ) 8π    (গ) 4π    (ঘ) 2π
উত্তর: (গ) 4π

---

সৃজনশীল প্রশ্ন

সময়— ২ ঘণ্টা ৩০ মিনিট | পূর্ণমান— ৭০
[দ্রষ্টব্য : ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। ৯নং প্রশ্নসহ প্রত্যেক বিভাগ থেকে ন্যূনতম একটি করে প্রশ্ন নিয়ে মোট ছয়টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে।]

ক বিভাগ—বীজগণিত

১। P = {1, 2}, Q = {3, 4} ও R = {4, 5} এবং f(x) = (3x+1) / (3x-1)।
(ক) A = {a, b, c} হলে P(A) নির্ণয় কর। (২)
উত্তর: P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}, {a,b,c}}
(খ) দেখাও যে, P × (Q ∩ R) = (P × Q) ∩ (P × R)। (৪)
উত্তর: [দেখানো হলো]
(গ) প্রমাণ কর যে, {f(1/x) + 1} / {f(1/x) – 1} = 3/x। (৪)
উত্তর: [প্রমাণিত]

২। (√(1+y) + √(1-y)) / (√(1+y) – √(1-y)) = m এবং A = (p² + q²) / (q² + r²), B = (p + q)² / (q + r)²।
(ক) কোনো একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 30 সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 7 : 5 : 3 হলে বৃহত্তম বাহুর পরিমাণ নির্ণয় কর। (২)
উত্তর: 14 সে.মি.
(খ) প্রমাণ কর যে, m² – (2m/y) + 1 = 0। (৪)
উত্তর: [প্রমাণিত]
(গ) যদি A = B হয়, তবে দেখাও যে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী। (৪)
উত্তর: [দেখানো হলো]

খ বিভাগ—জ্যামিতি

৩। a = 4 সে.মি., b = 5.5 সে.মি., c = 6.5 সে.মি., ∠X = 60° এবং ∠Y = 50°।
(ক) কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. হলে ত্রিভুজটি আঁক। (২)
উত্তর: [অঙ্কিত হলো]
(খ) একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠X ও ∠Y এবং পরিসীমা (b + c) সে.মি. হলে ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)
উত্তর: [অঙ্কিত হলো]
(গ) a, b ও c বাহু দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করে পরিবৃত্ত আঁক। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)
উত্তর: [অঙ্কিত হলো]

৪। দৃশ্যকল্প-(i) : Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু L থেকে বৃত্তে LM এবং LN দুইটি স্পর্শক।
দৃশ্যকল্প-(ii) : (চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ)।
(ক) 3 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের একটি বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন কর। (২)
উত্তর: [অঙ্কিত হলো]
(খ) দৃশ্যকল্প-(i) হতে প্রমাণ কর যে, LM = LN। (৪)
উত্তর: [প্রমাণিত]
(গ) দৃশ্যকল্প-(ii) হতে প্রমাণ কর যে, ∠PQR + ∠PSR = 2 সমকোণ। (৪)
উত্তর: [প্রমাণিত]

গ বিভাগ—ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি

৫। p = tanθ + sinθ; q = tanθ – sinθ এবং m = cosα।
(ক) A = 45° হলে (1 – sin²A) / (1 + cos²A) এর মান নির্ণয় কর। (২)
উত্তর: 1/3
(খ) উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর: p² – q² = 4√pq। (৪)
উত্তর: [প্রমাণিত]
(গ) 2(1 – m²) + 3m – 3 = 0 হলে α এর মান নির্ণয় কর। [যেখানে α সূক্ষ্মকোণ] (৪)
উত্তর: α = 60°

৬। দৃশ্যকল্প-(i) : একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল 432 বর্গমিটার।
দৃশ্যকল্প-(ii) : একটি লোহার পাইপের ভিতরের ও বাইরের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 5 সে.মি. ও 6 সে.মি. এবং পাইপের উচ্চতা 5 মিটার।
(ক) 8 সে.মি ধারবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন নির্ণয় কর। (২)
উত্তর: 512 ঘন সে.মি.
(খ) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (৪)
উত্তর: 576 বর্গমিটার
(গ) 1 ঘন সে.মি. লোহার ওজন 7.2 গ্রাম হলে পাইপের লোহার ওজন নির্ণয় কর। (৪)
উত্তর: 124.41 কেজি (প্রায়)

ঘ বিভাগ—পরিসংখ্যান

৭। 50 জন শিক্ষার্থীর গণসংখ্যা নিবেশন সারণি নিম্নরূপ :
শ্রেণি ব্যাপ্তি: 21—30 | 31—40 | 41—50 | 51—60 | 61—70
গণসংখ্যা: 8 | 16 | 12 | 9 | 5
(ক) 12, 9, 17, 28, 24, 17, 12, 17, 25, 28 উপাত্তসমূহের প্রচুরক নির্ণয় কর। (২)
উত্তর: 17
(খ) প্রদত্ত সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর। (৪)
উত্তর: 41.625
(গ) প্রদত্ত সারণি থেকে গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন কর। (৪)
উত্তর: [গ্রাফে অঙ্কিত হলো]

৮। দশম শ্রেণির 50 জন শিক্ষার্থীর ওজনের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি নিম্নরূপ :
শ্রেণি ব্যাপ্তি: 31—40 | 41—50 | 51—60 | 61—70 | 71—80
গণসংখ্যা: 4 | 15 | 25 | 4 | 2
(ক) 6, 4, 7, 15, 14, 8, 12, 15, 20, 13 উপাত্তসমূহের মধ্যক নির্ণয় কর। (২)
উত্তর: 12.5
(খ) সারণি থেকে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর। (৪)
উত্তর: [নির্ণেয় গড়]
(গ) সারণি থেকে অজিভ রেখা অঙ্কন কর। (৪)
উত্তর: [গ্রাফে অঙ্কিত হলো]

৯ নং প্রশ্ন (সংক্ষিপ্ত উত্তর প্রশ্ন)

(যে কোনো দশটি প্রশ্নের উত্তর দাও) | মান— ২ x ১০ = ২০

৯।

(ক) (x + 2y, 3) = (5, x + y) হলে (x, y) নির্ণয় কর।
উত্তর: x = 1, y = 2 অর্থাৎ (1, 2)

(খ) A = {1, 3}, B = {3, 4} এবং C = {2, 3, 4} হলে (A ∩ C) × B নির্ণয় কর।
উত্তর: {(3, 3), (3, 4)}

(গ) x – y = 3 এবং xy = 10 হলে x + y এর মান নির্ণয় কর।
উত্তর: ±7

(ঘ) 8m³ + 27n³ রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
উত্তর: (2m + 3n)(4m² – 6mn + 9n²)

(ঙ) একটি দ্রব্য 60 টাকায় বিক্রয় করলে 20% লাভ হয়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?
উত্তর: 50 টাকা

(চ) যদি p : q = q : r হয় তবে প্রমাণ কর যে, p/r = (p² + q²) / (q² + r²)।
উত্তর: [প্রমাণিত]

(ছ) একটি দ্রব্য 30% লাভে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় কর।
উত্তর: ১৩ : ১০

(জ) 4 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন কর।
উত্তর: [অঙ্কিত হলো]

(ঝ) চিত্রে, AC = 8 cm এবং BC = 6 cm হলে PQ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (চিত্রে A, C, B বিন্দু এবং P, Q বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র)।
উত্তর: 7 cm

(ঞ) (sinA + cosA) / (sinA – cosA) = (√3 + 1) / (√3 – 1) হলে দেখাও যে, tanA = √3।
উত্তর: [দেখানো হলো]

(ট) প্রমাণ কর যে, sin2θ = cos4θ ; যখন θ = 15°
উত্তর: [প্রমাণিত]

(ঠ) একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার, প্রস্থ 8 মিটার এবং উচ্চতা 3 মিটার। ঘনবস্তুর আয়তন নির্ণয় কর।
উত্তর: 288 ঘনমিটার

(ড) একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 14 মিটার, প্রস্থ 10 মিটার এবং উচ্চতা 4 মিটার। ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তর: 472 বর্গমিটার

(ঢ) কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলতে কী বোঝ? কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপগুলো কী কী?
উত্তর: কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপগুলো হলো- গাণিতিক গড়, মধ্যক ও প্রচুরক।

(ণ) সারণি হতে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি নির্ণয় কর। (শ্রেণি ব্যাপ্তি: 31-40, 41-50, 51-60, 61-70, 71-80 | গণসংখ্যা: 3, 5, 8, 6, 4)
উত্তর: ক্রমযোজিত গণসংখ্যাগুলো হবে যথাক্রমে: ৩, ৮, ১৬, ২২, ২৬।